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S. Capparelli, P. MMaroscia Alcuni problemi di matematiica discreta Basta scrivere la tabella qui illustrata: Conviene osservare chhe non è restrittivo limitarsi a considerare ii valori di n che siano multipli inteeri di 10, come abbiamo fatto sopra, poiché se n = 10 k, con k 0, si ha chiaaramente: (3) A n + 5 = A n, B n + 5 = B n, C n + 5 = C n, D n + 5 = DD n Come si vede dalla tabbella, risulta D 200 = 242 e analogamente D 300 = C 300 +D 250 = (BB 300 +C 280) + (C 250 +D 200) = B 300 +(B 280 + CC 260) + (B 250 +C 230) + D 200 = B 300 +B 280 + (BB 260 +C 240) + B 250 +C 230 +D 200 = B 300 +B 280 + B 260 + (B 240 +C 220) + B 250 +C 230 +D 200 = 31 + 29 + 27 + 25 + 144 + 26 + 156 + 242 = 680 A questo punto, è naaturale chiedersi: “Esiste una formula chhiusa per il calcolo di D n, almeno per n che sia un multiplo intero di 100?” Il problema non è ddi facile soluzione, poiché si tratta di “inggabbiare” in 1 una formula una succcessione infinita di numeri interi . Tuttaviaa, esso am- mette una risposta semmplice ed elegante, grazie ad alcuni risultatti di Eulero, che ora illustreremo e che ci permettono di risolvere il Problemaa 1 per altra via, rivelando altresì legami profondi e insospettati con altri rami della matematica. Quarta soluzione: Porrtiamo dall’equazione (1) precedente, che riscriviamo nella forma: 10x + 4y + 2z + w = 20 1 Conviene segnalare in prroposito la formula chiusa, dovuta a Eulero, relativva alla succes- sione dei numeri di Fibonaacci (cfr. per esempio Maroscia (2002)).