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S. Capparelli, P. Maroscia Alcuni problemi di matematica discreta Dunque la successione dei coefficienti della serie è data da: 1, 1, 2, 2, 4, 4, 6, 6, 9, 9, 13, 13, 18, 18, 24, 24, 31, 31, 39, 39, 49, 49, … e quindi risulta uguale alla successione {D n} n 0 studiata in precedenza nella terza soluzione, in cui però ciascun elemento viene ripetuto due volte, in accordo con le relazioni (3). In particolare il coefficiente di grado 20 risulta uguale a 49, cioè a D 100: si riottiene così, per altra via, la soluzione del Problema 1. Conviene sottolineare che, partendo da un approccio puramente empirico (illustrato nella prima soluzione) e procedendo poi gradatamente utilizzando il linguaggio e i metodi dell’algebra, siamo giunti finalmente a risolvere il Problema 1 in una forma molto più generale. Precisamente, data una somma arbitraria espressa in centesimi, diciamo n = 5 k (k 0), il numero dei modi possibili per ottenere n centesimi utilizzando solo monete da 5, 10, 20, 50 centesimi è dato dal coefficiente del termine di grado k nello sviluppo (7). Ma il discorso non finisce qui. Vale infatti il seguente risultato, del tutto sorprendente (cfr. Capparelli, Maroscia): Teorema: Il numero dei modi di ottenere N euro, con N 1, utilizzando solo monete da 5, 10, 20, 50 centesimi è dato dal valore f(N), dove f(x) è il polinomio : 4 (8) Così per esempio si ha: f(1) = 49, f(2) = 242, f(3) = 680, … 4 Si noti che il polinomio (8), pur avendo coefficienti razionali, assume valori interi per ogni $ %. Per dimostrare ciò, basta scrivere: '' !() !)( ! & & e verificare che &*'' ! () !)( ! & per ogni $ %, ossia, in modo equivalen- te, passando da % a % , che: + '' ! () !)(! & ' per ogni $% . +