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PROGETTO ALICE 2012 - III • •• • vol. XIII • •• • n° 39 S. Capparelli, P. Maroscia Ebbene, utilizzando un’idea geniale di Eulero, possiamo interpretare ogni 2 soluzione intera non negativa dell’equazione () come una partizione del termine noto 20. Pertanto, risolvere il Problema 1 iniziale equivale a calco- lare il numero di tutte le partizioni di 20 in parti uguali a 1, 2, 4, 10. Ebbene, per calcolare tali partizioni, abbiamo bisogno innanzitutto di intro- durre una nozione fondamentale: Definizione: Data una successione di numeri reali, la serie (4) si dice funzione generatrice della successione. La funzione f (x) è definita per tutti i valori di x per cui la serie converge. Per esempio, la successione costante {1, 1, …, 1} ha come funzione generatrice la serie geometrica: la quale converge a per |x| < 1. Ora, se indichiamo con p m(n) il numero delle partizioni di n in cui le 3 parti sono minori o uguali a m, e indichiamo la funzione generatrice 2 Ricordiamo che una partizione di un numero naturale n 1 è una rappresentazione di n come somma di interi positivi, detti appunto parti della partizione, senza distinguere l’ordine in cui sono scritti gli addendi. Per esempio, tutte le possibili partizioni di 4 sono: 4, 3 + 1, 2 + 2, 2 + 1 + 1, 1 + 1 + 1 + 1, dunque 5. Invece le partizioni di 5 sono in tutto 7. La teoria delle partizioni è sorprendentemente ricca di risultati e di applicazioni (cfr. Andrews (1998), Hardy, Wright (2008)). Ci limitiamo qui a enunciare un risultato fonda- mentale di Eulero: Teorema: Il numero delle partizioni di un intero positivo n in cui tutte le parti sono dispari è uguale al numero delle partizioni di n in cui tutte le parti sono distinte. Per esempio, 7 ammette 5 partizioni in parti dispari: 7, 5 + 1 + 1, 3 + 3 + 1, 3 + 1 + … + 1, 1 + … + 1, e 5 partizioni in parti distinte: 7, 6 + 1, 5 + 2, 4 + 3, 4 + 2 + 1. 3 Non è difficile verificare, per esempio, che p 2 (4) = 3, p 3 (5) = 5. Basta considerare, rispettivamente, le partizioni: 2 + 2, 2 + 1 + 1, 1 + 1+ 1 + 1 e 3 + 2, 3 + 1 + 1, 2 + 2 + 1, 2 + 1 + 1 + 1, 1 + 1 + 1 + 1 + 1.