Page 20 - progetto alice

S. Capparelli, P. Maroscia Alcuni problemi di matematica discreta (10, …, 10, 5, 5, 5, 5, 5, 5), (10, 10, 10, 10, 10, 10, 5, …, 5), (10, 10, 10, 10, 10, 5, …, 5), (10, 10, 10, 10, 5, …, 5), (10, 10, 10, 5, …, 5), (10, 10, 5, …, 5), (10, 5, …, 5) 4) m = 5: (5, …, 5) unico modo. Seconda soluzione: Si può procedere anche per via algebrica, considerando l’equazione nelle quattro variabili x, y, z, w: (1) 50 x + 20 y + 10 z + 5 w = 100 Dopodiché si tratta di trovare tutte le soluzioni intere non negative, cioè le quaterne (x, y, z, w) con x 0, y 0, z 0, w 0 che soddisfano tale equazione. Ora poiché w deve essere necessariamente pari, poniamo w = 2 w´, sicché la (1) può essere riscritta nella forma equivalente: (1´) 5 x + 2 y + z + w´ = 10 A questo punto, per trovare tutte le soluzioni intere non negative della (1´), procediamo analogamente a quanto visto in precedenza, esaminando uno alla volta tutti i casi possibili per i valori della x: (1) x = 2: una sola soluzione (2) x = 1; in tal caso, occorre considerare 3 sottocasi: (2a) y = 2: 2 soluzioni, essendo: 0 z 1 (2b) y = 1: 4 soluzioni, essendo: 0 z 3 (2c) y = 0: 6 soluzioni, essendo: 0 z 5 (3) x = 0, nel qual caso abbiamo 6 sottocasi: (3a) y = 5: una sola soluzione (3b) y = 4: 3 soluzioni (0 z 2) (3c) y = 3: 5 soluzioni (0 z 4) (3d) y = 2: 7 soluzioni (0 z 6) (3e) y = 1: 9 soluzioni (0 z 8) (3f) y = 0: 11 soluzioni (0 z 10) Otteniamo così 49 soluzioni intere non negative dell’equazione (1´), ossia il risultato precedente. Osserviamo tuttavia che, passando da un approccio