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PROGETTO ALICE 2012 - III • •• • vol. XIII • •• • n° 39 S. Capparelli, P. Maroscia puramente empirico a un primo approccio algebrico, si ottiene il risultato in forma più chiara e ordinata. Terza soluzione: Le soluzioni precedenti ci lasciano in qualche modo insod- disfatti, poiché appaiono strettamente legate ai dati specifici del problema. Per esempio, esse non risultano di nessun aiuto per risolvere il problema analogo, più generale, di calcolare in quanti modi possiamo ottenere 2 euro, 3 euro, e così via, utilizzando i quattro tipi di monete a disposizione. Per fare ciò, c’è bisogno di un piccolo salto concettuale che ci permetterà di inquadrare il nostro problema in un contesto del tutto generale. In proposito, ci lasciamo guidare da Polya (cfr. Polya (1967)), adattando opportunamente le sue indicazioni. Precisamente, per una data quantità n di centesimi, poniamo: A n =# modi di ottenere n centesimi usando solo monete di 5 c B n =# modi di ottenere n centesimi usando solo monete di 5 c, 10 c C n =# modi di ottenere n centesimi usando solo monete di 5 c, 10 c, 20 c D n =# modi di ottenere n centesimi usando solo monete di 5 c, 10 c, 20 c, 50 c Cominciamo a osservare che, se n > 50, si ha: (2) D n = C n + D n – 50 poiché in tal caso, per ottenere la somma n, si può utilizzare almeno una moneta da 50 c; se n < 50, si ha chiaramente: D n = C n, sicché in tal caso D n – 50 = 0. Procedendo allo stesso modo, per ricorrenza, si ha: (2´) C n = B n + C n – 20 (2´´) B n = A n + B n – 10 Conviene osservare esplicitamente che le formule (2), (2´), (2´´) restano valide, se poniamo: A 0 = B 0 = C 0 = D 0 = 1 (ciò che ovviamente ha senso) e inoltre A n, B n, C n, D n uguali a zero, se l’indice n risulta negativo. A questo punto, utilizzando le relazioni (2), (2´), (2´´), siamo in grado di ottenere facilmente tutti i modi per esprimere (o cambiare) una somma assegnata di n centesimi, utilizzando solo monete da 5, 10, 20, 50 centesimi.